新教材2014年高考理数试题解析（山东卷）word版 |
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资源简介
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：
1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。
如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)。
第I卷(共60分)
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 若复数x满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位)，则z为
A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i
解析：.答案选A。
另解：设，则
根据复数相等可知，解得，于是。
2 已知全集={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3,}，B={2,4} ，则(CuA)B为
A {1,2,4} B {2,3,4}
C {0,2,4} D {0,2,3,4}
解析：。答案选C。
3 设a>0 a≠1 ，则"函数f(x)= ax在R上是减函数 "，是"函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数"的
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
解析：p："函数f(x)= ax在R上是减函数 "等价于;q："函数g(x)=(2-a) 在R上是增函数"等价于，即且a≠1，故p是q成立的充分不必要条件. 答案选A。
(4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，......，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为
(A)7 (B) 9 (C) 10 (D)15
解析：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即，第k组的号码为，令，而，解得，则满足的整数k有10个，故答案应选C。
解析：作出可行域，直线，将直线平移至点处有最大值，
点处有最小值，即.答案应选A。
(6)执行下面的程序图，如果输入a=4，那么输出的n的值为
(A)2(B)3(C)4(D)5
解析：;
;
，。
答案应选B。
(7)若，，则sin=
(A)(B)(C)(D)
解析：由可得，
，
，答案应选D。
另解：由及可得
，
而当时，结合选项即可得.答案应选D。
(8)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3≤x<-1时，f(x)=-(x+2)2，当-1≤x<3时，f(x)=x。则f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2013)=
(A)335(B)338(C)1678(D)2013
解析：，而函数的周期为6，
.
答案应选B
(9)函数的图像大致为
解析：函数，为奇函数，
当，且时;当，且时;
当，，;当，，.
答案应选D。
(10)已知椭圆C：的离心率为，双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆c的方程为
解析：双曲线x2-y2=1的渐近线方程为，代入可得，则，又由可得，则，
于是。椭圆方程为，答案应选D。
(11)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为
(A)232 (B)252 (C)472 (D)484
解析：,答案应选C。
另解：.
(12)设函数(x)=，g(x)=ax2+bx若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是
A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0
B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0
C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0
D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0
解析:令，则，设，
令，则，要使y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需，整理得，于是可取来研究，当时，，解得，此时，此时;当时，，解得，此时，此时.答案应选B。
另解：令可得。
设
不妨设，结合图形可知，
当时如右图，此时，
即，此时，，即;同理可由图形经过推理可得当时.答案应选B。
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
(13)若不等式的解集为，则实数k=__________。
解析：由可得，即，而，所以.
另解：由题意可知是的两根，则，解得.
(14)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。
解析：.
(15)设a>0.若曲线与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=______。
解析：，解得.
(16)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为______________。
解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转
了弧度，此时点的坐标为[
.
另解1：根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程为，且，则点P的坐标为，即.
三、解答题：本大题共6小题，共74分。
(17)(本小题满分12分)
已知向量m=(sinx，1)，函数f(x)=m·n的最大值为6.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象像左平移个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象。求g(x)在上的值域。
解析：(Ⅰ)，
则;
(Ⅱ)函数y=f(x)的图象像左平移个单位得到函数的图象，
再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数.
当时，，.
故函数g(x)在上的值域为.
另解：由可得，令，
则，而，则，
于是，
故，即函数g(x)在上的值域为.
(18)(本小题满分12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。
(Ⅰ)求证：BD⊥平面AED;
(Ⅱ)求二面角F-BD-C的余弦值。
解析：(Ⅰ)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,
由余弦定理可知,
即,在中，∠DAB=60°，，则为直角三角形，且。又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，故BD⊥平面AED;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，设，则,建立如图所示的空间直角坐标系，，向量为平面的一个法向量.
设向量为平面的法向量，则,即，
取，则，则为平面的一个法向量.
，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，则
二面角F-BD-C的余弦值为。
(19)(本小题满分12分)
现有甲、乙两个靶。某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分;向乙靶射击两次，每次命中的概率为,每命中一次得2分，没有命中得0分。该射手每次射击的结果相互独立。假设该射手完成以上三次射击。
(Ⅰ)求该射手恰好命中一次得的概率;
(Ⅱ)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX
解析：(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
X
0
1
2
3
4
5
P
]
EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.
(20)(本小题满分12分)
在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84，a9=73.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)对任意m∈N﹡，将数列{an}中落入区间(9m，92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm。
解析：(Ⅰ)由a3+a4+a5=84，a5=73可得而a9=73，则，，于是，即.
(Ⅱ)对任意m∈N﹡，，则，
即，而，由题意可知，
于是
，
即.
(21)(本小题满分13分)
在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为。
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在，求出点M的坐标;若不存在，说明理由;
(Ⅲ)若点M的横坐标为，直线l：y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，的最小值。
解析：(Ⅰ)F抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点F，设M，，由题意可知，则点Q到抛物线C的准线的距离为，解得，于是抛物线C的方程为.
(Ⅱ)假设存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M，
而，，，
，，
由可得，，则，
即，解得，点M的坐标为.
(Ⅲ)若点M的横坐标为，则点M，。
由可得，设，
圆，
，
于是，令
，
设，，
当时，，
即当时.
故当时，.
22(本小题满分13分)
已知函数f(x) = (k为常数，e=2.71828......是自然对数的底数)，曲线y= f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行。
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x>0，。
解析：由f(x) = 可得，而，即，解得;
(Ⅱ)，令可得，
当时，;当时，。
于是在区间内为增函数;在内为减函数。
简证(Ⅲ)，
当时， ，.
当时，要证。
只需证，然后构造函数即可证明。
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