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资源简介
【3年高考2年模拟】第八章 解析几何第一部分 三年高考荟萃
2013年高考数学(1) 直线方程与圆的方程
一、选择题
.(2013陕西理)已知圆,过点的直线,则 ( )
A.与相交 B.与相切C.与相离D.以上三个选项均有可能
.(2013天津理)设,,若直线与圆相切,则的取值范围是 ( )
A. B.
C. D.
.(2013重庆文)设A,B为直线与圆 的两个交点,则 ( )
A.1 B. C. D.2
.(2013陕西文)已知圆,过点的直线,则 ( )
A.与相交 B.与相切 C.与相离 D.以上三个选项均有可能
.(2013山东文)圆与圆的位置关系为 ( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
.(2013辽宁文)将圆x2+y2 -2x-4y+1=0平分的直线是 ( )
A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0
.(2013湖北文)过点的直线,将圆形区域分两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 ( )
A. B. C. D.
.(2013广东文)(解析几何)在平面直角坐标系中,直线与圆相交于、两点,则弦的长等于 ( )
A. B. C. D.1
.(2013福建文)直线与圆相交于两点,则弦的长度等于 ( )
A. B.. C. D.1
.(2013大纲文)正方形的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.3
.(2013安徽文)若直线与圆有公共点,则实数取值范围是 ( )
A. B. C. D.
.(2013重庆理)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆的位置关系一定是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
二、填空题
.(2013浙江文)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离,已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离,则实数a=_______.
.(2013天津文)设,若直线与轴相交于点,与轴相交于,且与圆相交所得弦的长为2,为坐标原点,则面积的最小值为_________.
.(2013上海文)若是直线的一个方向向量,则的倾斜角的大小为__________(结果用反三角
函数值表示).
.(2013山东文)如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.
.(2013江西文)过直线上点作圆的两条切线，若两条切线的夹角是,则点的坐标是__________。
.(2013北京文)直线被圆截得的弦长为_____________
.(2013天津理)如图,已知和是圆的两条弦.过点作圆的切线与的延长线相交于点,过点作的平行线与圆相交于点,与相交于点,,,,则线段的长为______________.
.(2013浙江理)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离等于C2:x 2+(y+4) 2 =2到直线l:y=x的距离,则实数a=______________.
.(2013江苏)在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的最大值是____.
考答案
一、选择题
解析: ,所以点在圆C内部,故选A.
【答案】D
【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系,点到直线的距离公式,重要不等式,一元二次不等式的解法,并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.
【解析】∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离为,所以,设,
则,解得.
【答案】:D
【解析】:直线过圆的圆心 则2
【考点定位】本题考查圆的性质,属于基础题.
解析: ,所以点在圆C内部,故选A.
解析:两圆心之间的距离为,两圆的半径分别为,
则,故两圆相交. 答案应选B.
【答案】C
【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选C
【点评】本题主要考查直线和圆的方程,难度适中.
A【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大,必须使过点的圆的弦长达到最小,所以需该直线与直线垂直即可.又已知点,则,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点,故由点斜式得,所求直线的方程为,即.故选A.
【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用,数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时,所求直线应与直线垂直,利用这一条件求出斜率,进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.
解析:B.圆心到直线的距离为,所以弦的长等于.
【答案】B
【解析】圆心,半径,弦长
【考点定位】该题主要考查直线和圆的位置关系,考查计算求解能力.
答案B
【命题意图】本试题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用.通过相似三角形,来确定反射后的点的落的位置,结合图像分析反射的次数即可.
【解析】解:结合已知中的点E,F的位置,进行作图,推理可知,在反射的过程中,直线是平行的,那么利用平行关系,作图,可以得到回到EA点时,需要碰撞8次即可.
【解析】选圆的圆心到直线的距离为
则
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为,且圆心不在该直线上.
法二:直线恒过定点,而该点在圆内,且圆心不在该直线上,故选C.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间接距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定点的直线方程.直线与圆的位置关系利用与的大小为判断.当时,直线与圆相交,当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离.
二、填空题
【答案】
【命题意图】本题主要考查了曲线到直线的距离问题,利用单数综合解决曲线到直线的距离转为点到直线的距离.
【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,-4),圆心到直线l:y=x的距离为:,故曲线C2到直线l:y=x的距离为.
另一方面:曲线C1:y=x 2+a,令,得:,曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离的点为(,),.
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为,直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距离满足,所以,即圆心到直线的距离,所以.三角形的面积为,又,当且仅当时取等号,所以最小值为.
[解析] ,所以的倾斜角的大小为.
答案: 解析:根据题意可知圆滚动了2单位个弧长,点P旋转
了弧度,此时点的坐标为
.
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程
为,且,
则点P的坐标为,即.
【答案】()
【解析】本题主要考查数形结合的思想,设p(x,y),则由已知可得po(0为原点)与切线的夹角为,则|po|=2,由可得.
【考点定位】此题考查了直线与圆的位置关系,直角三角形的性质,以及切线的性质,已知切线往往连接圆心与切点,借助图形构造直角三角形解决问题,培养了学生数形结合的思想,分析问题,解决问题的能力.
【答案】
【解析】将题目所给的直线与圆的图形画出,半弦长为,圆心到直线的距离,以及圆半径构成了一个直角三角形,因此.
【考点定位】本小题涉及到的是直线与圆的知识,由于北京的考卷多年没有涉及直线和圆,对于二生来说,可能能些陌生,直线与圆相交求弦长,利用直角三角形解题,也并非难题.
【答案】
【命题意图】本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系,相交弦定理,切割线定理,相似三角形的概念、判定与性质.
【解析】∵,,,由相交弦定理得,所以,又∵BD∥CE,∴,=,设,则,再由切割线定理得,即,解得,故.
【答案】
【解析】C2:x 2+(y+4) 2 =2,圆心(0,-4),圆心到直线l:y=x的距离为:,故曲线C2到直线l:y=x的距离为.
另一方面:曲线C1:y=x 2+a,令,得:,曲线C1:y=x 2+a到直线l:y=x的距离的点为(,),.
【答案】.
【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为:,∴圆C的圆心为,半径为1.
∵由题意,直线上至少存在一点,以该点为圆心,1为半径的圆与圆有
公共点;
∴存在,使得成立,即.
∵即为点到直线的距离,∴,解得.
∴的最大值是.
2013年高考数学(2)圆锥曲线与方程
一、选择题
.(2013山东理)已知椭圆的离心学率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 ( )
A. B. C. D.
.(2013山东文)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ( )
A. B.
C. D.
.(2013浙江文)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点.若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是 ( )
A.3 B.2
C. D.
.(2013浙江理)如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是 ( )
A. B.
C. D.
.(2013辽宁文)已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
.(2013四川文)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则 ( )
A. B. C. D.
.(2013课标文)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于、两点,=,则的实轴长为 ( )
A. B. C.4 D.8
.(2013课标文)设,是椭圆:=1(>>0)的左、右焦点,为直线上一点,△是底角为的等腰三角形,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
.(2013江西文)椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
.(2013湖南文)已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1[w~、ww.zz&st^ep.com@]
.(2013福建文)已知双曲线-=1的右焦点为,则该双曲线的离心率等于
A B. C. D.
.(2013大纲文)已知为双曲线的左,右焦点,点在上,,则 ( )
A. B. C. D.
.(2013大纲文)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
.(2013新课标理)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为 ( )
A. B. C. D.
.(2013新课标理)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
.(2013四川理)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点.若点到该抛物线焦点的距离为,则 ( )
A. B. C. D.
.(2013上海春)已知椭圆则 [答] ( )
A.与顶点相同. B.与长轴长相同.
C.与短轴长相同. D.与焦距相等.
.(2013湖南理)已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为 ( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
.(2013福建理)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 ( )
A. B. C.3 D.5
.(2013大纲理)已知为双曲线的左右焦点,点在上,,则 ( )
A. B. C. D.
.(2013大纲理)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为 ( )
A. B. C. D.
.(2013安徽理)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题
.(2013天津文)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则______,_______.
.(2013重庆文)设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率___
.(2013四川文)椭圆为定值,且的的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是______.
.(2013陕西文)右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.
.(2013辽宁文)已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若P F1⊥P
F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.
.(2013安徽文)过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则=______
.(2013天津理)己知抛物线的参数方程为(为参数),其中,焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,点的横坐标是3,则_______.
.(2013重庆理)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则=_____________________.
.(2013四川理)椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是____________.
.(2013上海春)抛物线的焦点坐标为_______.
.(2013陕西理)右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽____米.
.(2013辽宁理)已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为__________.
.(2013江西理)椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
.(2013江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为____.
.(2013湖北理)如图,双曲线的两顶点为,,虚轴两端点为,,两焦点为,. 若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为. 则
(Ⅰ)双曲线的离心率________;
(Ⅱ)菱形的面积与矩形的面积的比值________.
.(2013北京理)在直角坐标系中,直线过抛物线的焦点F,且与该抛物线相较于A、B两点,其中点A在轴上方,若直线的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________.
三、解答题
.(2013重庆文)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分)
已知椭圆的中心为原点,长轴在 轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为 ,线段 的中点分别为 ,且△是面积为4的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;(Ⅱ)过 作直线交椭圆于,,求△的面积
.(2013浙江文)(本题满分14分)如图，在直角坐标系xOy中，点P(1，)到抛物线C：=2px(P>0)的准线的距离为。点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。
(1)求p,t的值。
(2)求△ABP面积的最大值。
.(2013天津文)已知椭圆,点在椭圆上.
(I)求椭圆的离心率.
(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.
.(2013四川文)如图,动点与两定点、构成,且直线的斜率之积为4,设动点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.
.(2013上海文)在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点. 若|MF|=2,求过M点的坐标;(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的
面积;
(3)设斜率为的直线l交C于P、Q两点,若l与圆相切,
求证:OP⊥OQ;
.(2013陕西文)已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
.(2013山东文)如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.
(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;
(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.
.(2013课标文)设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.
.(2013江西文)已知三点,曲线上任意一点满足。
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线上动点,曲线在点处的切线为,点的坐标是与分别交于点,求与的面积之比。
.(2013湖南文)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
.(2013湖北文)设A是单位圆上任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足,当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标.
(2)过原点斜率为的直线交曲线于两点,其中在第一象限,且它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点,是否存在,使得对任意的,都有?若存在,请说明理由.
.(2013广东文)(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.
.(2013福建文)如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程;
(2)设动直线与抛物线相切于点,与直线相较于点.证明以为直径的圆恒过轴上某定点.
.(2013大纲文)已知抛物线C:与圆:有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线上.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设是异于且与及都切的两条直线,的交点为,求到的距离.
.(2013北京文)已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.
.(2013安徽文)如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)已知面积为40,求 的值
.(2013天津理)设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明直线的斜率满足.
.(2013新课标理)设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,
为半径的圆交于两点;
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,
求坐标原点到距离的比值.
.(2013浙江理)如图,椭圆C:(a>b>0)的离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
.(2013重庆理)(本小题满分12分(Ⅰ)小问5分(Ⅱ)小问7分)
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程
.(2013四川理)如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为.
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围.
.(2013上海理)在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:
OP⊥OQ;
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:O到直线MN的距离是定值.
.(2013上海春)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知双曲线
(1)求与双曲线有相同的焦点,且过点的双曲线的标准方程;
(2)直线分别交双曲线的两条渐近线于两点.当时,求实数的值.
.(2013陕西理)已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
.(2013山东理)在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆 有两个不同的交点,求当时,的最小值.
.(2013辽宁理)如图,椭圆:,a,b为常数),动圆,.点分别为的左,右顶点,与相交于A,B,C,D四点.
(Ⅰ)求直线与直线交点M的轨迹方程;
(Ⅱ)设动圆与相交于四点,其中,
.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值.
.(2013江西理)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.
(1) 求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2
.(2013江苏)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.
(i)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
.(2013湖南理)在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
.(2013湖北理)设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
.(2013广东理)(解析几何)在平面直角坐标系中,已知椭圆:()的离心率且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在椭圆上,是否存在点,使得直线:与圆:相交于不同的两点、,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及对应的的面积;若不存在,请说明理由.
.(2013福建理)如图,椭圆的左焦点为,右焦点为,离心率.过的直线交椭圆于两点,且的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相较于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
.(2013大纲理)(注意:在试卷上作答无效)
已知抛物线与圆 有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线.
(1)求;
(2)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离.
.(2013北京理)已知曲线C:
(1)若曲线C是焦点在轴的椭圆,求的范围;
(2)设,曲线C与轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线与曲线C交于不同的两点M,N,直线与直线BM交于点G求证:A,G,N三点共线.
.(2013安徽理)如图,分别是椭圆
的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,
过点作直线的垂线交直线于点;
(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;
(II)证明:直线与椭圆只有一个交点.
2013年高考文科数学解析分类汇编：圆锥曲线参考答案
一、选择题
【解析】因为椭圆的离心率为,所以,,,所以,即,双曲线的渐近线为,代入椭圆得,即,所以,,,则第一象限的交点坐标为,所以四边形的面积为,所以,所以椭圆方程为,选D.
解析:由双曲线:的离心率为2可知,则双曲线的渐近线方程为,抛物线的焦点,则,抛物线的方程为,答案应选D.
【答案】B
【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质,通过对两者公交点求解离心率的关系.
【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,,.
【答案】B
【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.
直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得:Q(,);由,得:P(,).∴直线MN为:y-=﹣(x-),
令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,解之得:,即e=.
【答案】C
【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题.曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键.
[答案]B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系,是简单题.
【解析】由题设知抛物线的准线为:,设等轴双曲线方程为:,将代入等轴双曲线方程解得=,∵=,∴=,解得=2,
∴的实轴长为4,故选C.
【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想,是简单题.
【解析】∵△是底角为的等腰三角形,
∴,,∴=,∴,∴=,故选C.
【答案】B[]
【解析】,由成等比数列得.
【考点定位】本题主要考查椭圆和等比数列的知识,根据等比中项的性质可得结果.
【答案】A
【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.
又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.
又,,C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.
【答案】C
【解析】由,C答案正确.
【考点定位】本题主本考查双曲线的方程与基本性质,属于基础题.
答案C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.
【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得.
答案C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程.
【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C
【解析】选设交的准线于得:
【解析】选是底角为的等腰三角形
[答案]B
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).
D
【答案】A
【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.
又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.
又,,C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.
【答案】A
【解析】∵抛物线的焦点是,∴双曲线的半焦距,,故双曲线的渐近线的方程为
【考点定位】本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程、几何性质、点和直线的位置关系.考查推理谁能力、逻辑思维能力、计算求解能力、数形结合思想、转化化归思想.
答案C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用.首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可.
【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得.
答案C
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用.通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程.
【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以.故选答案C
【解析】选
设及;则点到准线的距离为
得: 又
的面积为
二、填空题
【解析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,所以有,,又双曲线的右焦点为,所以,又,即,所以.
【答案】
【解析】由,又垂直于轴,所以
【考点定位】本题考查了双曲线的焦点、离心率,考查了两条直线垂直的条件,考查了方程思想.
[答案]
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时,
,所以水面宽米。
【答案】
【解析】由双曲线的方程可知
【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力,难度适中.解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理,实现差-积-和的转化.
【解析】
设及;则点到准线的距离为
得: 又
【答案】2
【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质.
【解析】∵可得抛物线的标准方程为,∴焦点,∵点的横坐标是3,则,所以点,
由抛物线得几何性质得,∵,∴,解得.
【答案】
【解析】设,则有,又,所以.
【考点定位】本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线与直线的关系,当遇到抛物线焦点弦问题时,常根据焦点设出直线方程与抛物线方程联立,把韦达定理和抛物线定义相结合解决问题,属于难题.
[答案]
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
解析:建立如图所示的直角坐标系,则抛物线方程为,当时,
,所以水面宽米.
【答案】4
【解析】因为点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2.
由所以过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2,所以过点P,Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为4
【点评】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题.
曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键.
【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,,.又已知,,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.
【答案】2.
【考点】双曲线的性质.
【解析】由得.
∴,即,解得.
考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算.
解析:(Ⅰ)由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出
(Ⅱ)设,很显然知道,因此.在中求得故;
菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出.
【答案】
【解析】由,可求得焦点坐标为,因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线的方程为,将直线和曲线方程联立,因此.
【考点定位】 本题考查的是解析几何中抛物线的问题,根据交点弦问题求围成的面积.此题把握住抛物线的基本概念,熟练的观察出标准方程中的焦点和准线坐标、方程是成功的关键.当然还要知道三角形面积公式.
三、解答题
【答案】:(Ⅰ)+=1(Ⅱ)
【解析】(1)设所求椭圆的标准方程为,右焦点为
由是直角三角形且,故,从而,即,结合,,所以椭圆的离心率,在中,
故,由题设条件,从而,因此所求椭圆的标准方程为.
(2)由(1)可知,由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线,代入椭圆的方程可得(*)
设 则 是上面方程的两根,因此
又,所以
由 ,知 ,即 ,解得
当 时,方程(*)化为:
故 ,
的面积 当 时,同理可得(或由对称性可得) 的面积 综上所述, 的面积为 .
【命题意图】本题主要考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
(1)由题意得，得.
(2)设，线段AB的中点坐标为
由题意得，设直线AB的斜率为k(k).
由，得，得
所以直线的方程为，即.
由，整理得，
所以，，.从而得
，
设点P到直线AB的距离为d，则
，设ABP的面积为S，则.
由，得.
令，，则.
设，，则.
由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.
解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率
(2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为
[解析](1)设M的坐标为(x,y),当x=-1时,直线MA的斜率不存在;当x=1时,直线MB的斜率不存在.
于是x≠1且x≠-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.
由题意,有·=4
化简可得,4x2-y2-4=0
故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0(x≠1且x≠-1)
(2)由消去y,可得3x2-2mx-m2-4=0. (﹡)
对于方程(﹡),其判别式=(-2m)2-4×3(-m2-4)=16m2+48>0
而当1或-1为方程(*)的根时,m的值为-1或1.
结合题设(m>0)可知,m>0,且m≠1
设Q、R的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根.
因为,所以,
所以.
此时
所以
所以
综上所述,
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
[解](1)双曲线,左焦点.
设,则,
由M是右支上一点,知,所以,得.
所以
(2)左顶点,渐近线方程:.
过A与渐近线平行的直线方程为:,即.
解方程组,得
所求平行四边形的面积为
(3)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,故,
即 (*).
由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
,所以
.
由(*)知,所以OP⊥OQ
解:(I)①
矩形ABCD面积为8,即②
由①②解得:,∴椭圆M的标准方程是.
(II),
设,则,
由得.
.
线段CD的方程为,线段AD的方程为.
(1)不妨设点S在AD边上,T在CD边上,可知.
所以,则,
令,则
所以,
当且仅当时取得最大值,此时;
(2)不妨设点S在AB边上,T在CD边上,此时,
因此,此时,
当时取得最大值;
(3)不妨设点S在AB边上,T在BC边上,可知
由椭圆和矩形的对称性可知当时取得最大值;
综上所述当和0时,取得最大值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边
点到准线的距离,所以圆F的半径为,
又 ,所以,
进而圆心,所以圆的方程为
(2)∵ 三点共线于,所以为⊙的直径,所以,由抛物线定义知:,所以,可取直线的倾斜角为,又直线过焦点,所以直线的方程为:;的纵截距为
因直线∥直线,
所以可设直线的方程为,联立,消去得:
已知直线与抛物线只有一个公共点,所以(*)的判别式等于0,即有:
, 求得:;即直线的纵截距为,
所以:坐标原点到,距离的比为:
解法二:由对称性设,则
由点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为.
【解析】(1),,,
代入式子可得整理得
【解析】(Ⅰ)由,得.故圆C的圆心为点
从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知
故椭圆E的方程为:
(Ⅱ)设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得
,
即
同理可得 .
从而是方程的两个实根,于是
①
且
由得解得或
由得由得它们满足①式,故点P的坐标为
,或,或,或.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标.
考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求.
解析:
(Ⅰ)如图1,设,,则由,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
解法2:如图2、3,,设,,则,,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
【点评】本题考查椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的位置关系;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型,求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论,不要漏解;对于探讨性问题一直是高考考查的热点,一般先假设结论成立,再逆推所需要求解的条件,对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.
解析:(Ⅰ)由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,假设其方程为.
联立,消去,可得,由可得①.联立,消去,可得,由可得②.由①②,解得或,所以直线方程为或.
【考点定位】 本题主要考察抛物线的定义性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基本指导,考查运用求解能力、推理论证能力、数形结合思想、转化与化归思想、特殊与一般思想.
【解析】(1)依题意,设点B(x,y),则x=·=
Y=·=12 ,∴B(,12)在抛物线上,∴=2p×12,∴p=2,
抛物线E的方程为=4y
(2)设点P(,), ≠0. ∵Y=,,
切线方程:y-=,即y=
由 ∴Q(,-1)
设M(0,)∴,∵·=0
--++=0,又,∴联立解得=1
故以PQ为直径的圆过y轴上的定点M(0,1)
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离.
解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心
圆心为,的斜率
由知,即,解得,故
所以
(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即
若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得
求解可得
抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为
① ② ③
②-③得,将代入②得,故
所以到直线的距离为.
【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向.
【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度确实不大,从形式到条件的设计都是非常熟悉的,相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的.
解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.
(2)由得.
设点M,N的坐标分别为,,则,,,.
所以|MN|===.
由因为点A(2,0)到直线的距离,
所以△AMN的面积为. 由,解得.
【解析】(I)
(Ⅱ)设;则
在中,
面积
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间的距离公式等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.以及数形结合的数学思想方程,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.
解：(1)取，;则
(2)设;则线段的中点
方法二:依题意,直线的方程为,可设点,由点在椭圆上,有,因为,所以即③
由,得整理得,于是,代入③得.
【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边
点到准线的距离
圆的方程为
(2)由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为.
【解析】
(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.
∴﹣
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=,其中﹣
利用导数解:
令,
则
当m=时,有(SABP)max.
此时直线l的方程.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【考点定位】本题考查椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算,直线的一般方程,直线与圆锥曲线的综合问题.
解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为.
因是直角三角形,又,故为直角,因此,得.
结合得,故,所以离心率.
在中,,故
由题设条件,得,从而.
因此所求椭圆的标准方程为:
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,
设,则是上面方程的两根,因此
,
又,所以
由,得,即,解得,
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:和
[解析](1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,.
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)
当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)
综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)
(II)由方程消去y,可得.(*)
由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设
所以
解得,m>1,且m2
设Q、R的坐标分别为,由有
所以
由m>1,且m2,有
所以的取值范围是
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性.
[解](1)双曲线,左顶点,渐近线方程:.
过点A与渐近线平行的直线方程为,即.
解方程组,得
所以所求三角形的面积1为
(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,
故,即
由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
又,所以
,
故OP⊥OQ
(3)当直线ON垂直于x轴时,
|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时,
设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,所以.
同理
设O到直线MN的距离为d,因为,
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值
解(1)双曲线的焦点坐标为,设双曲线的标准方程为,则,所以双曲线的标准方程为.
(2)双曲线的渐近线方程为,设
由,由
又因为,而
所以.
解析:(1)由已知可设椭圆的方程为
其离心率为,故,则
故椭圆的方程为
(2)解法一 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为
将代入中,得,所以
将代入中,则,所以
由,得,即
解得,故直线的方程为或
解法二 两点的坐标分别记为
由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,
因此可以设直线的方程为
将代入中,得,所以
由,得,
将代入中,得,即
解得,故直线的方程为或.
解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,,由题意可知,则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得,于是抛物线C的方程为.
(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,
而,,,
,,
由可得,,则,
即,而,解得,点M的坐标为.
(Ⅲ)若点M的横坐标为,则点M,.
由可得,.设,
圆,
,
于是,令
,设,,
当时,,
即当时.
故当时,.
【答案及解析】
【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题.
【解析】设，又知，则
直线的方程为 ①
直线的方程为 ②
由①②得 ③
由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得
......6分
(2)证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得
，因为点均在椭圆上，所以
由，知，所以。从而，因而为定值...12分
【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用.本题考查综合性较强,运算量较大.在求解点的轨迹方程时,要注意首先写出直线和直线的方程,然后求解.属于中档题,难度适中.
【解析】
解:(1)依题意可得,
,
由已知得,化简得曲线C的方程:
(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为,由于,因此
①当时, ,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意
②当时,,所以l 与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组,
解得D,E的横坐标分别是
则,又,
有,又
于是
对任意,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足,
解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.
【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容.
【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得
,∴.
由点在椭圆上,得
∴椭圆的方程为.
(2)由(1)得,,又∵∥,
∴设、的方程分别为,.
∴.
∴.①
同理,.②
(i)由①②得,.解得=2.
∵注意到,∴.
∴直线的斜率为.
(ii)证明:∵∥,∴,即.
∴.
由点在椭圆上知,,∴.
同理..
∴
由①②得,,,
∴.
∴是定值.
【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式.
【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解.
(2)根据已知条件,用待定系数法求解.
【解析】(Ⅰ)解法1 :设M的坐标为,由已知得
,
易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以
.
化简得曲线的方程为.
解法2 :由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.
(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为.于是
整理得
①
设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故
②
由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以
④
同理可得
⑤
于是由②,④,⑤三式得
.
所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值,体现"设而不求"思想.
考点分析:本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系,要求能正确理解椭圆的标准方程及其几何性质,并能熟练运用代数方法解决几何问题,对运算能力有较高要求.
解析:
(Ⅰ)如图1,设,,则由,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
解法2:如图2、3,,设,,则,,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有
解析:(Ⅰ)因为,所以,于是.设椭圆上任一点,则().
当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得,与假设不符合,舍去.
当时,在时取到最大值,且最大值为,由解得.于是,椭圆的方程是.
(Ⅱ)圆心到直线的距离为,弦长,所以的面积为,于是.而是椭圆上的点,所以,即,于是,而,所以,,所以,于是当时,取到最大值,此时取到最大值,此时,.
综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线与圆相交于不同的两点、,且的面积最大,且最大值为.
点评:此题与2013年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.
(2013年南海区高三8月摸底考试)已知椭圆的两焦点为、,并且经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知圆:,直线:,证明:当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.
【考点定位】本题考查椭圆的性质、圆的性质、直线与圆的位置关系、平面向量等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、考查转化与化归思想、数形结合思想、函数与方程的思想、特殊与一般的思想.
【解析】因为,即
而,所以,而
所求椭圆方程为
(2)由
,,由
设存在,则由可得
,由于对任意恒成立,所以联立解得.
故存在定点,符合题意.
【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离.
解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心
圆心为,的斜率
由知,即,解得,故
所以
(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即
若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得
求解可得
抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为
① ② ③
②-③得,将代入②得,故
所以到直线的距离为.
法二:(Ⅰ)设对于抛物线的切线方程为 ①;
对于圆的切线方程为 ②.
因为①②是共点公切线,(斜率相等),结合.解之得.代入②得.
(Ⅱ)数形结合知,抛物线与圆应有三条公切线(如图).
由(Ⅰ)知,公切线方程为:.
今设另两公切线与抛物线切于点,
则切线方程为.
又直线与相切应有,整理得
记,.则
联立的方程得.故到的距离为.
【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处.另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向.
【考点定位】此题难度集中在运算,但是整体题目难度不太大,从形式到条件的设计都具有一般性,相信平时对曲线的复习程度不错的学生做起来应该是得心应手.
解:(1)原曲线方程可化简得:,由题意可得:,解得:
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,,解得:
由韦达定理得:①,,②
设,,
方程为:,则,
,,
欲证三点共线,只需证,共线
即成立,化简得:
将①②代入易知等式成立,则三点共线得证.
【解析】(I)点代入得:
①
又 ② ③
由①②③得: 既椭圆的方程为
(II)设;则
得:
过点与椭圆相切的直线斜率
得:直线与椭圆只有一个交点.
2013年高考题
一、选择题
1.(重庆理8)在圆内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为
A. B. C. D.
【答案】B
2.(浙江理8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则
A. B. C. D.
【答案】C
3.(四川理10)在抛物线上取横坐标为，的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知的割线的坐标,设直线方程为
，则
又
4.(陕西理2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是
A. B. C. D.
【答案】B
5.(山东理8)已知双曲线的两条渐近线均和圆
C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】A
6.(全国新课标理7)已知直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，为C的实轴长的2倍，C的离心率为
(A) (B) (C) 2 (D) 3
【答案】B
7.(全国大纲理10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点.则=
A. B. C. D.
【答案】D
8.(江西理9)若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A.(，) B.(，0)∪(0，)
C.[，] D.(，)∪(，+)
【答案】B
9.(湖南理5)设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
10.(湖北理4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A.n=0 B.n=1 C. n=2 D.n 3
【答案】C
11.(福建理7)设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于
A. B.或2 C.2 D.
【答案】A
12.(北京理8)设,，,.记为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为
A. B.
C. D.
【答案】C
13.(安徽理2)双曲线的实轴长是
(A)2 (B) 2 (C) 4 (D)4
【答案】C
14.(辽宁理3)已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为
(A) (B)1 (C) (D)
【答案】C
15.在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为
(A)2 (B) (C) (D)
答案 D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.
【解析】极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，
即 ，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式
.故选D.
二、填空题
15.(湖北理14)如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系(其中轴一与轴重合)所在的平面为，。
(Ⅰ)已知平面内有一点，则点在平面内的射影的
坐标为 ;
(Ⅱ)已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是 。
【答案】(2，2)
16.(浙江理17)设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是 .
【答案】
17.(上海理3)设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则
。
【答案】16
18.(江西理14)若椭圆的焦点在轴上，过点(1，)作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】
19.(北京理14)曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F?2(1，0)的距离的积等于常数的点的轨迹.给出下列三个结论：
① 曲线C过坐标原点;
② 曲线C关于坐标原点对称;
③若点P在曲线C上，则△FPF的面积大于a。
其中，所有正确结论的序号是 。
【答案】②③
20.(四川理14)双曲线P到左准线的距离是 .
【答案】
【解析】，点显然在双曲线右支上，点到左焦点的距离为14，所以
21.(全国大纲理15)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线.则|AF2| = .
【答案】6
22.(辽宁理13)已知点(2，3)在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为 .
【答案】2
23.(重庆理15)设圆C位于抛物线与直线x=3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为__________
【答案】
24.(全国新课标理14)(14) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点在x轴上，离心率为.过点的直线l交C于A，B两点，且的周长为16，那么C的方程为_________.
【答案】
25.(安徽理15)在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，
下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点
②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点
③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点
④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数
⑤存在恰经过一个整点的直线
【答案】①，③，⑤
三、解答题
26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
(1)当直线PA平分线段MN，求k的值;
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d;
(3)对任意k>0，求证：PA⊥PB
本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，满分16分.
解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标
原点，所以
(2)直线PA的方程
解得
于是直线AC的斜率为
(3)解法一：
将直线PA的方程代入
则
故直线AB的斜率为
其方程为
解得.
于是直线PB的斜率
因此
解法二：
设.
设直线PB，AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以
从而
因此
27.(安徽理21)设，点的坐标为(1,1)，点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。
本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.
解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设
①
再设
解得 ②
将①式代入②式，消去，得
③
又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得
故所求点P的轨迹方程为
28.
(北京理19)
已知椭圆.过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.
(I)求椭圆G的焦点坐标和离心率;
(II)将表示为m的函数，并求的最大值.
(19)(共14分)
解：(Ⅰ)由已知得
所以
所以椭圆G的焦点坐标为
离心率为
(Ⅱ)由题意知，.
当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为
此时
当m=-1时，同理可得
当时，设切线l的方程为
由
设A、B两点的坐标分别为，则
又由l与圆
所以
由于当时，
所以.
因为
且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
29.(福建理17)已知直线l：y=x+m，m∈R。
(I)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程;
(II)若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切?说明理由。
本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
解法一：
(I)依题意，点P的坐标为(0，m)
因为，所以，
解得m=2，即点P的坐标为(0，2)
从而圆的半径
故所求圆的方程为
(II)因为直线的方程为
所以直线的方程为
由
(1)当时，直线与抛物线C相切
(2)当，那时，直线与抛物线C不相切。
综上，当m=1时，直线与抛物线C相切;
当时，直线与抛物线C不相切。
解法二：
(I)设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为
依题意，所求圆与直线相切于点P(0，m)，
则
解得
所以所求圆的方程为
(II)同解法一。
30.(广东理19)
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
(1)求C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
(1)解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知
化简得L的方程为
(2)解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得
解得
因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故
，若P不在直线MF上，在中有
故只在T1点取得最大值2。
31.(湖北理20)
平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系;
(Ⅱ)当时，对应的曲线为;对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值;若不存在，请说明理由。
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。(满分14分)
解：(I)设动点为M，其坐标为，
当时，由条件可得
即，
又的坐标满足
故依题意，曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;
当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆;
当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆;
当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。
(II)由(I)知，当m=-1时，C1的方程为
当时，
C2的两个焦点分别为
对于给定的，
C1上存在点使得的充要条件是
由①得由②得
当
或时，
存在点N，使S=|m|a2;
当
或时，
不存在满足条件的点N，
当时，
由，
可得
令，
则由，
从而，
于是由，
可得
综上可得：
当时，在C1上，存在点N，使得
当时，在C1上，存在点N，使得
当时，在C1上，不存在满足条件的点N。
32.(湖南理21)
如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。
(Ⅰ)求C1，C2的方程;
(Ⅱ)设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E.
(i)证明：MD⊥ME;
(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线l,使得?请说明理由。
解 ：(Ⅰ)由题意知
故C1，C2的方程分别为
(Ⅱ)(i)由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为.
由得
.
设是上述方程的两个实根，于是
又点M的坐标为(0，-1)，所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
(ii)设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得
则点A的坐标为.
又直线MB的斜率为，
同理可得点B的坐标为
于是
由得
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为
于是.
因此
由题意知，
又由点A、B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
33.(辽宁理20)
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
(I)设，求与的比值;
(II)当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由.
解：(I)因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得
..................4分
当表示A，B的纵坐标，可知
..................6分
(II)t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
解得
因为
所以当时，不存在直线l，使得BO//AN;
当时，存在直线l使得BO//AN. ..................12分
34.(全国大纲理21)
已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足
(Ⅰ)证明：点P在C上;
(Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
解：
(I)F(0，1)，的方程为
代入并化简得
............2分
设
则
由题意得
所以点P的坐标为
经验证，点P的坐标为满足方程
故点P在椭圆C上。 ............6分
(II)由和题设知，
PQ的垂直平分线的方程为
①
设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线为的方程为
②
由①、②得的交点为。 ............9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心，NA为半径的圆上 ............12分
35.(全国新课标理20)
在平面直角坐标系xOy中， 已知点A(0，-1)，B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C.
(I)求C的方程;
(II)P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值.
(20)解：
(Ⅰ)设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).
所以=(-x，-1-y)， =(0，-3-y)， =(x，-2).
再由题意可知(+)? =0， 即(-x，-4-2y)? (x，-2)=0.
所以曲线C的方程式为y=x-2.
(Ⅱ)设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x
因此直线的方程为，即.
则O点到的距离.又，所以
当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.
36.(山东理22)
已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.
(Ⅰ)证明和均为定值;
(Ⅱ)设线段PQ的中点为M，求的最大值;
(Ⅲ)椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状;若不存在，请说明理由.
(I)解：(1)当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，
所以
因为在椭圆上，
因此 ①
又因为
所以 ②
由①、②得
此时
(2)当直线的斜率存在时，设直线的方程为
由题意知m，将其代入，得
，
其中
即 ............(*)
又
所以
因为点O到直线的距离为
所以
又
整理得且符合(*)式，
此时
综上所述，结论成立。
(II)解法一：
(1)当直线的斜率存在时，
由(I)知
因此
(2)当直线的斜率存在时，由(I)知
所以
所以，当且仅当时，等号成立.
综合(1)(2)得|OM|·|PQ|的最大值为
解法二：
因为
所以
即当且仅当时等号成立。
因此 |OM|·|PQ|的最大值为
(III)椭圆C上不存在三点D，E，G，使得
证明：假设存在，
由(I)得
因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，
而这三点的两两连线中必有一条过原点，
与矛盾，
所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.
37.(陕西理17)
如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且
(Ⅰ)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度
解：(Ⅰ)设M的坐标为(x,y)P的坐标为(xp,yp)
由已知得
∵P在圆上， ∴ ，即C的方程为
(Ⅱ)过点(3，0)且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为
将直线方程代入C的方程，得
即
∴ ∴ 线段AB的长度为
注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样得分。
38.(上海理23) 已知平面上的线段及点，在上任取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。
(1)求点到线段的距离;
(2)设是长为2的线段，求点集所表示图形的面积;
(3)写出到两条线段距离相等的点的集合，其中
，
是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②
6分，③8分;若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。
。
② 。
③ 。
解：⑴ 设是线段上一点，则
，当时，。
⑵ 设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，
则，点集由如下曲线围成
，
其面积为。
⑶ ① 选择，
② 选择。
③ 选择。
39.(四川理21)
椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.
(I)当|CD | = 时，求直线l的方程;
(II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值。
解：由已知可得椭圆方程为，设的方程为为的斜率。
则
的方程为
40.(天津理18)在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程.
本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分.
(I)解：设
由题意，可得
即
整理得(舍)，
或所以
(II)解：由(I)知
可得椭圆方程为
直线PF2方程为
A，B两点的坐标满足方程组
消去y并整理，得
解得
得方程组的解
不妨设
设点M的坐标为，
由
于是
由
即，
化简得
将
所以
因此，点M的轨迹方程是
41.(浙江理21)
已知抛物线:=，圆:的圆心为点M
(Ⅰ)求点M到抛物线的准线的距离;
(Ⅱ)已知点P是抛物线上一点(异于原点)，过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(I)解：由题意可知，抛物线的准线方程为：
所以圆心M(0，4)到准线的距离是
(II)解：设，
则题意得，
设过点P的圆C2的切线方程为，
即 ①
则
即，
设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
将①代入
由于是此方程的根，
故，所以
由，得，
解得
即点P的坐标为，
所以直线的方程为
42.(重庆理20)如题(20)图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值?若存在，求的坐标;若不存在，说明理由.
解：(I)由
解得，故椭圆的标准方程为
(II)设，则由
得
因为点M，N在椭圆上，所以
，
故
设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为
2014年高考题
一、选择题
1.(2014江西理)直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察数形结合的运用.
解法1：圆心的坐标为(3.，2)，且圆与y轴相切.当，由点到直线距离公式，解得;
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取，排除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
2.(2014安徽文)(4)过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
(A)x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 (D)x+2y-1=0
【答案】A
【解析】设直线方程为，又经过，故，所求方程为.
【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点(1，0)且与直线x-2y-2=0平行.
3.(2014重庆文)(8)若直线与曲线()有两个不同的公共点，则实数的取值范围为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】D
解析：化为普通方程，表示圆，
因为直线与圆有两个不同的交点，所以解得
法2：利用数形结合进行分析得
同理分析，可知
4.(2014重庆理)(8) 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为
A. B. C. D.
【答案】C
解析：数形结合
由圆的性质可知
故
5.(2014广东文)
6.(2014全国卷1理)(11)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
7.(2014安徽理)9、动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于(单位：秒)的函数的单调递增区间是
A、 B、 C、 D、和
【答案】 D
【解析】画出图形，设动点A与轴正方向夹角为，则时，每秒钟旋转，在上，在上，动点的纵坐标关于都是单调递增的。
【方法技巧】由动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t在变化时，点的纵坐标关于(单位：秒)的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.
8.(2014湖南文)设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】B
9.(2014浙江理)(8)设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
(A) (B) (C) (D)
解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，本题主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题
10.(2014全国卷2理)(12)已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.若，则
(A)1 (B) (C) (D)2
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴
即k=，故选B.
11.(2014陕西文)9.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为
(A) (B)1 (C)2 (D)4
【答案】 C
解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系
法一：抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为，因为抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，所以
法二：作图可知，抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切与点(-1,0)
所以
12.(2014辽宁文)(9)设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，
则一个焦点为
一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，
，解得.
13.(2014辽宁文)(7)设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么
(A) (B) 8 (C) (D) 16
【答案】 B
解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则
14.(2014辽宁理) (9)设双曲线的-个焦点为F;虚轴的-个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【命题立意】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想。
【解析】设双曲线方程为，则F(c,0),B(0,b)
直线FB：bx+cy-bc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac
所以c2-a2=ac,即e2-e-1=0,所以或(舍去)
15.(2014辽宁理)(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
【命题立意】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想。
【解析】抛物线的焦点F(2，0)，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8
16.(2014全国卷2文)(12)已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点，若。则k =
(A)1 (B) (C) (D)2
【答案】B
【解析】，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，
，解得，
17.(2014浙江文)(10)设O为坐标原点，,是双曲线(a>0，b>0)的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为
(A)x±y=0 (B)x±y=0
(C)x±=0 (D)±y=0
【答案】 D
解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题
18.(2014重庆理)(10)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是
A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线
【答案】 D
解析：排除法 轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B
19.(2014山东文)(9)已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
20.(2014四川理)(9)椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，
即F点到P点与A点的距离相等
而|FA| |
文件类型：
RAR/ZIP/DOC/PPT/SWF
