新教材2014届高考数学复习--最新3年高考2年模拟（8）概率与统计word版 |
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【3年高考2年模拟】第十章 概率与统计第一部分
三年高考荟萃
2013年高考数学(1)统计
一、选择题
.(2013山东理)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间的人做问卷,编号落入区间的人做问卷,其余的人做问卷.则抽到的人中,做问卷的人数为 ( )
A.7 B.9 C.10 D.15
.(2013四川文)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数为 ( )
A.101 B.808 C.1212 D.2013
.(2013陕西理)从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),设甲乙两组数据的平均数分别为,,中位数分别为,,则
( )
A. ,
B.,
C.,
D.,
.(2013陕西文)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则改样本的中位数、众数、极差分别是
( )
A.46,45,56 B.46,45,53
C.47,45,56 D.45,47,53
.(2013山东文)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ( )
A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差
.(2013江西文)小波一星期的总开支分布图如图1所示,一星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为
( )
A.30% B.10% C.3% D.不能确定
.(2013湖北文)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表
分组
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间的频率为 ( )
A. B. C. D.
.(2013江西理)样本(x1,x2,xn)的平均数为x,样本(y1,y2,,yn)的平均数为.若样本(x1,x2,xn,y1,y2,,yn)的平均数,其中0<α<,则n,m的大小关系为 ( )
A.nm
C.n=m D.不能确定
.(2013安徽理)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则 ( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
二、填空题
.(2013浙江文)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为____________.
.(2013山东文)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为____.
.(2013湖南文)图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.
(注:方差,其中为x1,x2,,xn的平均数)[来
.(2013湖北文)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有______人.
.(2013广东文)(统计)由正整数组成的一组数据、、、,其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为_________.(从小到大排列)
.(2013福建文)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_______.
.(2013天津理)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调査,应从小学中抽取_______所学校,中学中抽取_____所学校.
.(2013江苏)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生.
三、解答题
.(2013广东文)(统计)某校100位学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、.
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(Ⅲ)若这100名学生的语文成绩某些分数段的人数()与数学成绩相应分数段的人数()之比如下表所示,求数学成绩在之外的人数.
分数段
参考答案
一、选择题
【解析】从960中用系统抽样抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组号码为9,则第二组为39,公差为30.所以通项为,由,即,所以,共有人,选C
[答案]B
[解析]N=
[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体.
解析:直接根据茎叶图判断,选B
A解析:考查统计中"中位数、众数、极差"有关概念,中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列起来,形成一个数列,处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数.当变量值的项数N为奇数时,处于中间位置的变量值即为中位数;当N为偶数时,中位数则为处于中间位置的2个变量值的平均数.众数是一组数据中出现次数最多的数值,叫众数,有时众数在一组数中有好几个.简单的说,就是一组数据中占比例最多的那个数.极差是指总体各单位的标志值中,最大标志值与最小标志值之差.中位数和众数不同,中位数不一定在这组数据中.而众数必定在该组数据.
解析:设A样本数据的数据为,根据题意可知B样本数据的数据为,则依据统计知识可知A,B两样本中的众数、平均数和中位数都相差2,唯有方差相同,即标准差相同.答案应选D.
【答案】C
【解析】本题是一个读图题,图形看懂结果很容易计算.鸡蛋开占食品开支,小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分之化为.
B【解析】由频率分布表可知:样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9,样本总数为,故样本数据落在区间内频率为.故选B.
【点评】本题考查频率分布表的应用,频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.
A 【解析】本题考查统计中的平均数,作差法比较大小以及整体思想.
由统计学知识,可得,
.
,
所以.
所以
故.
因为,所以.所以.即.
【点评】要牢固掌握统计学中一些基本特征:如平均数,中位数,方差,标准差等的求法.
体现考纲中要求会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.来年需要注意频率分布直方图中平均值,标准差等的求解等.
【解析】选
甲的成绩的方差为,乙的成绩的方差为
二、填空题
【答案】160
【命题意图】本题考查了随机抽样中的分层抽样,也是随机抽样中惯考的形式,利用总体重的个体数比,确定样本中某一个体的样本容量.
【解析】总体中男生与女生的比例为,样本中男生人数为.
答案:9 解析:根据题意可知低于22.5℃的城市的频率为,不低于25.5℃的城市的频率为,则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为.
另解:最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9.
【答案】6.8
【解析】,
.
【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识,考查分析问题、解决问题的能力.
6【解析】设抽取的女运动员的人数为,则根据分层抽样的特性,有,解得.故抽取的女运动员为6人.
【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2013奥运会为题材,充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时,各样本抽取的比例应该是一样的,即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查.
解析:1、1、3、3.由,,可得,因为、、、都是正整数,所以只有1、3组合或2、2组合.若其中有一个是2、2组合,不妨设,则由可得
,此时、无解,所以与,与都是1、3组合,因此这组数据为1、1、3、3.
【答案】12
【解析】
【考点定位】此题考查分层抽样的概念和具体做法,明确分层抽样的本质是关键
【答案】18,9
【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算.
【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样,由题知学校总数为250所,
所以应从小学中抽取,中学中抽取.
【答案】15.
【考点】分层抽样.
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样.将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性.因此,由知应从高二年级抽取15名学生.
三、解答题
解析:(Ⅰ)由,解得.
(Ⅱ).
(Ⅲ)这100位学生语文成绩在、、、的分别有5人、40人、30人、20人,按照表中所给比例,数学成绩在、、、的分别有5人、20人、40人、25人,共90人,所以数学成绩在之外的人数有10人.
2013年高考数学(2)概率
一、选择题
1 .(2013辽宁文)在长为12cm的线段AB上任取一点 C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20cm2的概率为
: ( )
A. B. C. D.
2 .(2013安徽文)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球,从袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )
A. B. C. D.
23.(2013北京文理)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( )
A. B. C. D.
4 .(2013辽宁理)在长为12cm的线段AB上任取一点 C.现作一矩形,领边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于32cm2的概率为 ( )
A. B. C. D.
5 .(2013湖北理)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆. 在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( )
A. B.
C. D.
二、填空题
6 .(2013浙江文)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为的概率是___________.
7 .(2013江苏)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是____.
三、解答题
.(2013辽宁文)电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图;
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为"体育迷",已知"体育迷"中有10名女性.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面的列联表,并据此资料你是否认为"体育迷"与性别
有关?
非体育迷
体育迷
合计
男
女
合计
(Ⅱ)将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为"超级体育迷",已知"超级体育迷"中有2名女性,若从"超级体育迷"中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.
.(2013北京文)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨):
"厨余垃圾"箱
"可回收物"箱
"其他垃圾"箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率;
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;
(3)假设厨余垃圾在"厨余垃圾"箱、"可回收物"箱、"其他垃圾"箱的投放量分别为,其中,.当数据的方差最大时,写出的值(结论不要求证明),并求此时的值.
(注:方差,其中为的平均数)
参考答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2,
由,解得.又,所以该矩形面积小于32cm2的概率为,故选C
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.
2. 【解析】选 1个红球,2个白球和3个黑球记为
从袋中任取两球共有15种;
满足两球颜色为一白一黑有种,概率等于
3. 【答案】D
【解析】题目中表示的区域表示正方形区域,而动点可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分,因此,故选D
【考点定位】 本小题是一道综合题,它涉及到的知识包括:线性规划,圆的概念和面积公式、概率.
4、 【答案】C
【解析】设线段AC的长为cm,则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2,
由,解得.又,所以该矩形面积小于32cm2的概率为,故选C
【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算,以及分析问题的能力,属于中档题.
5、 考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法.
解析:令,扇形OAB为对称图形,ACBD围成面积为,围成OC为,作对称轴OD,则过C点.即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积,.在扇形OAD中为扇形面积减去三角形OAC面积和,,,扇形OAB面积,选A.
二、填空题
6. 【答案】
【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题.
【解析】基本事件的总数为：5个点中任取2个共有10种可能，若使两点间的距离为，则为对角线一半，选择点必含中心，4个顶点中任取一个点，共有4种可能，概率为.P=
7、【答案】.
【考点】等比数列,概率.
【解析】∵以1为首项,为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是.
三、解答题
【答案与解析】
【解析】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，"体育迷"有25人，从而列联表如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
将列联表中的数据代入公式计算，得 ......3分
因为，所以没有理由认为"体育迷"与性别有关. ......6分
(Ⅱ)由频率分布直方图知，"超级体育迷"为5人，从而一切可能的结果所组成的基本事件空间为
={{，}，{，}，{，}，{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}.
其中表示男性，=1,2,3，表示女性，=1,2.
由10个基本事件组成，而且这些基本事件出现是等可能的，
用A表示"任选3人中，至少有2人是女性"这一事件，则
A={{，}，{，},{，}，{，}，{，}，{，}，{，}}，
事件A由7个基本事件组成，∴.
【点评】准确读取频率分布直方图中的数据是解题的关键。求概率时列举基本事件一定要做到不重不漏，此处极容易出错。
【考点定位】此题的难度集中在第三问,基他两问难度不大,第三问是对能力的考查,不要求证明,即不要求说明理由,但是要求学生对方差意义的理解非常深刻.
(1)厨余垃圾投放正确的概率约为
=
(2)设生活垃圾投放错误为事件A,则事件表示生活垃圾投放正确.
事件的概率约为"厨余垃圾"箱里厨余垃圾量、"可回收物"箱里可回收物量与"其他垃圾"箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即P(),约为.所以P(A)约为1-0.7=0,3.
(3)当,时,取得最大值.因为,
所以.
2013年高考题统计(一)
一、选择题
1.(四川理1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5,27.5) 18
[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从到共有22，所以。
2.(陕西理9)设(，)，(，)，...，(，)是变量和的个样本点，
直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以
下结论中正确的是
A.和的相关系数为直线的斜率
B.和的相关系数在0到1之间
C.当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
D.直线过点
【答案】D
3.(山东理7)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
【答案】B
4.(江西理6)变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5);变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则
A. B. C. D.
【答案】C
5.(湖南理4)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得，.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参照附表，得到的正确结论是
A.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别有关"
B.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为"爱好该项运动与性别无关"
C.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别有关"
D.有99%以上的把握认为"爱好该项运动与性别无关"
【答案】C
二、填空题
6.(天津理9)一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________
【答案】12
7.(辽宁理14)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元.
【答案】0.254
8.(江苏6)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
【答案】3.2
9.(广东理13)某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
【答案】185
三、解答题
10.(北京理17)
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
(注：方差，其中为，，...... 的平均数)
解(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11;乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件"Y=17"等价于"甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵"所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×
=19
11.(辽宁理19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
(I)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果，你认为应该种植哪一品种?
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数.
解：
(I)X可能的取值为0，1，2，3，4，且
即X的分布列为
..................4分
X的数学期望为
..................6分
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
..................8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
..................10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
2013年高考题
(二)概率
一、选择题
1.(浙江理9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
A. B. C. D
【答案】B
2.(四川理1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5,27.5) 18
[27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5.39.5) 7 [39.5,43.5) 3
根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】从到共有22，所以。
3.(陕西理10)甲乙两人一起去游"2013西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
4.(全国新课标理4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
5.(辽宁理5)从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数"，事件B="取到的2个数均为偶数"，则P(B︱A)=
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
6.(湖北理5)已知随机变量服从正态分布，且P(<4)=，则P(0<<2)=
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
【答案】C
7.(湖北理7)如图，用K、、三类不同的元件连接成一个系统。当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
【答案】B
8.(广东理6)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
9.(福建理4)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A. B.
C. D.
【答案】C
二、填空题
10.(湖北理12)在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 。(结果用最简分数表示)
【答案】
11.(福建理13)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。
若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
【答案】
12.(浙江理15)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若
，则随机变量X的数学期望
【答案】
13.(湖南理15)如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A表示事件"豆子落在正方形EFGH内"， B表示事
件"豆子落在扇形OHE(阴影部分)内"，则
(1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= .
【答案】(1)
14.(上海理9)马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管"!"处无法完全看清，且两个"?"处字迹模糊，但能肯定这两个"?"处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案
。
【答案】2
15.(重庆理13)将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率__________
【答案】
16.(上海理12)随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 (默认每月天数相同，结果精确到)。
【答案】
17.(江西理12)小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于，则去打篮球;否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
【答案】
18.(江苏5)5.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
【答案】
三、解答题
19.(湖南理18)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;
(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
解(I)("当天商品不进货")("当天商品销售量为0件")("当天商品销售量为1件")
(Ⅱ)由题意知，的可能取值为2,3.
("当天商品销售量为1件")
("当天商品销售量为0件")("当天商品销售量为2件")("当天商品销售量为3件")
故的分布列为
2
3
的数学期望为
20.(安徽理20)工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(Ⅲ)假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。
解：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类读者论论思想，应用意识与创新意识.
解：(I)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是
，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，
并等于
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是
(III)(方法一)由(II)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明：对于的任意排列，都有
........................(*)
事实上，
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(II)中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值.
(ii)也可将(II)中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值.
序综合(i)(ii)可知，当时，EX达到最小. 即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.
21.(北京理17)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树
Y的分布列和数学期望。
(注：方差，其中为，，...... 的平均数)
解：(1)当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11;乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件"Y=17"等价于"甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵"所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y=17)=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×
=19
22.(福建理19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，......，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值;
(II)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.
(III)在(I)、(II)的条件下，若以"性价比"为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.
注：(1)产品的"性价比"=;
(2)"性价比"大的产品更具可购买性.
解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。
解：(I)因为
又由X1的概率分布列得
由
(II)由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(III)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
据此，乙厂的产品更具可购买性。
23.(广东理17)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量(单位：毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。
解：(1)，即乙厂生产的产品数量为35件。
(2)易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约(件)优等品，
(3)的取值为0，1，2。
所以的分布列为
0
1
2
P
故
24.(辽宁理19)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.
(I)假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望;
(II)试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果，你认为应该种植哪一品种?
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数.
解：
(I)X可能的取值为0，1，2，3，4，且
即X的分布列为
..................4分
X的数学期望为
..................6分
(II)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
..................8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
..................10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
25.(全国大纲理18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率;
(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。
解：记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买;
(I) ............3分
............6分
(II)
，即X服从二项分布， ............10分
所以期望 ............12分
26.(全国新课标理19)某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90，94)
[94，98)
[98，102)
[102，106)
[106，110]
频数
4
12
42
32
10
(I)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率;
(II)已知用B配方生产的一种产品利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元).求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率).
解
(Ⅰ)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
(Ⅱ)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，，054，0.42，因此
P(X=-2)=0.04， P(X=2)=0.54， P(X=4)=0.42，
即X的分布列为
-2
2
4
0.04
0.54
0.42
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
27.(山东理18)红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率;
(Ⅱ)用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
解：(I)设甲胜A的事件为D，
乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。
因为
由对立事件的概率公式知
红队至少两人获胜的事件有：
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为
(II)由题意知可能的取值为0，1，2，3。
又由(I)知是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
因此
由对立事件的概率公式得
所以的分布列为：
0
1
2
3
P
0.1
0.35
0.4
0.15
因此
28.(陕西理20)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间(分钟)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径?
(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(Ⅰ)的选择方案，求X的分布列和数学期望。
解(Ⅰ)Ai表示事件"甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站"，Bi表示事件"乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站"，i=1,2.用频率估计相应的概率可得
P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6，P(A2)=0.1+0.4=0.5，
P(A1) >P(A2), 甲应选择Li
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9，
P(B2) >P(B1), 乙应选择L2.
(Ⅱ)A,B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(Ⅰ)知,又由题意知，A,B独立，
的分布列为
X
0
1
2
P
0.04
0.42
0.54
29.(四川理18)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;两人租车时间都不会超过四小时。
(Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(Ⅱ)求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望;
解：(1)所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为
则所付费用相同的概率为
(2)设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
分布列
30.(天津理16)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(Ⅰ)求在1次游戏中，
(i)摸出3个白球的概率;
(ii)获奖的概率;
(Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
解：本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.
(I)(i)解：设"在1次游戏中摸出i个白球"为事件则
(ii)解：设"在1次游戏中获奖"为事件B，则，又
且A2，A3互斥，所以
(II)解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望
31.(重庆理17)某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
(Ⅰ)恰有2人申请A片区房源的概率;
(Ⅱ)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
(I)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记"申请A片区房源"为事件A，则
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为
(II)ξ的所有可能值为1，2，3.又
综上知，ξ有分布列
ξ
1 2 3
P
从而有
2014年高考题
一、选择题
1.(2014全国卷2理)(6)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种
【答案】B
【命题意图】本试题主要考察排列组合知识，考察考生分析问题的能力.
【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选B.
2.(2014全国卷2文)(9)将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
(A) 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【答案】 B
【解析】B：本题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1，2有3种不同的选法，再从剩下的4个数中选两个放一个信封有，余下放入最后一个信封，∴共有
3.(2014重庆文)(10)某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有
(A)30种 (B)36种
(C)42种 (D)48种
解析：法一：所有排法减去甲值14日或乙值16日，再加上甲值14日且乙值16日的排法
即=42
法二：分两类
甲、乙同组，则只能排在15日，有=6种排法
甲、乙不同组，有=36种排法，故共有42种方法
4.(2014重庆理)(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有种方法
甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法
故共有1008种不同的排法
5.(2014北京理)(4)8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
6.(2014四川理)(10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
(A)72 (B)96 (C) 108 (D)144
【答案】C
解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法
①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，3=24个
②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共3=12个
算上个位偶数字的排法，共计3(24+12)=108个
7.(2014天津理)(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
(A)288种 (B)264种 (C)240种 (D)168种
【答案】D
【解析】本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，属于难题。
B,D,E,F用四种颜色，则有种涂色方法;
B,D,E,F用三种颜色，则有种涂色方法;
B,D,E,F用两种颜色，则有种涂色方法;
所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法。
【温馨提示】近两年天津卷中的排列、组合问题均处理压轴题的位置，且均考查了分类讨论思想及排列、组合的基本方法，要加强分类讨论思想的训练。
8.(2014天津理)(4)阅读右边的程序框图，若输出s的值为-7，则判断框内可填写
(A)i<3? (B)i<4?
(C)i<5? (D)i<6?
【答案】 D
【解析】 本题 主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题。
第一次执行循环体时S=1，i=3;第二次执行循环时s=-2，i=5;第三次执行循环体时s=-7.i=7，所以判断框内可填写"i<6?",选D.
【温馨提示】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。
9.(2014福建文)
10.(2014全国卷1理)(6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种
【答案】A
11.(2014四川文)(9)由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是
(A)36 (B)32 (C)28 (D)24
【答案】A
解析：如果5在两端，则1、2有三个位置可选，排法为2×=24种
如果5不在两端，则1、2只有两个位置可选，3×=12种
共计12+24=36种
12.(2014湖北文)6.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是
A. B. C. D.
13.(2014湖南理)7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为
A.10 B.11 C.12 D.15
14.(2014湖北理)8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A.152 B.126 C.90 D.54
【答案】B
【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有;若有1人从事司机工作，则方案有种，所以共有18+108=126种，故B正确
15.(2014江西理)6. 展开式中不含项的系数的和为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】B
【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反。采用赋值法，令x=1得：系数和为1，减去项系数即为所求，答案为0.
16.(2014重庆文数)(1)的展开式中的系数为
(A)4 (B)6
(C)10 (D)20
【答案】 B
解析：由通项公式得
17.(2014全国卷1文)的展开式 的系数是
(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)3
【答案】A.
【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.
【解析】
的系数是 -12+6=-6
18.(2014全国卷1理)(5)的展开式中x的系数是
(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4
【答案】C
19.(2014陕西文)4.如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为,样本标准差分别为sA和sB,则 [B]
(A) >，sA>sB
(B) <，sA>sB
(C) >，sA
(D) <，sA
解析：本题考查样本分析中两个特征数的作用
<10<;A的取值波动程度显然大于B，所以sA>sB
2.(2014重庆文)(5)某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为
(A)7 (B)15 (C)25 (D)35
【答案】 B
解析：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为
21.(2014山东文)(6)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
(A)92 , 2 (B) 92 , 2.8
(C) 93 , 2 (D) 93 , 2.8
答案：B
22.(2014广东理)7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且=0.6826，则p(X>4)=( )
A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585
7.B.=0.3413，
=0.5-0.3413=0.1587.
23.(2014四川文)(4)一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人.为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是
(A)12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8,16,10,6
解析：因为
故各层中依次抽取的人数分别是，，，
答案：D
24.(2014山东理)(8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
(A)36种 (B)42种 (C)48种 (D)54种
【答案】B
25.(2014山东理)
26.(2014山东理)
27.(2014湖北理)6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，......600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为
A.26, 16, 8, B.25，17，8
C.25，16，9 D.24，17，9
28.(2014辽宁理)(3)两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【命题立意】本题考查了相互独立事件同时发生的概率，考查了有关概率的计算问题
【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，则
P(A)=P(A1)+ P(A2)=
29.(2014江西理)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚;方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为和，则
A. = B. < C. > D。以上三种情况都有可能
【答案】B
【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业，作为旧大纲的最后一年高考，本题给出一个强烈的导向信号。方法一：每箱的选中的概率为，总概率为;同理，方法二：每箱的选中的概率为，总事件的概率为，作差得<。
30.(2014安徽文)(10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是
(A) (A) (A) (A)
【答案】C
【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.
【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.
31.(2014北京文){1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
32.(2014广东理)8.为了迎接2014年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒
【答案】C
每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×(120-1)=595s.总共就有600+595=1195s.
33.(2014湖北理)4.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记"硬币正面向上"为事件A,"骰子向上的点数是3"为事件B,则事件A，B中至少有一件发生的概率是
A B C D
34.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的
产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品
净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98)，[98，100),
[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于
100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且
小于104克的产品的个数是 ( ).
A.90 B.75 C. 60 D.45
答案 A
解析 产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,
已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,
则,所以,净重大于或等于98克并且小于
104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本
中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
120×0.75=90.故选A.
【命题立意】:本题考查了统计与概率的知识,读懂频率分布直方图,会计算概率以及样本中有关的数据.
35.(2009四川卷文)设矩形的长为，宽为，其比满足∶=，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
答案 A
解析 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
36.(2009宁夏海南卷理)对变量x, y 有观测数据理力争(，)(i=1,2,...，10)，得散点图1;对变量u ，v 有观测数据(，)(i=1,2,...，10),得散点图2. 由这两个散点图可以判断。
A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关
C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关
答案 C
解析 由这两个散点图可以判断,变量x 与y 负相关，u 与v 正相关,选C.
37.(2009四川卷文)设矩形的长为，宽为，其比满足∶=，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：
甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639
乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
答案 A
解析 甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613
备考提示 用以上各数据与0.618(或0.6)的差进行计算，以减少计算量，说明多思则少算。
38.(2009陕西卷文)某单位共有老、中、青职工430人,其中青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍。为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为
A.9 B.18 C.27 D. 36
答案 B
解析 由比例可得该单位老年职工共有90人，用分层抽样的比例应抽取18人.
39.(2009福建卷文)一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表
组别
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在上的频率为
A. 0.13 B. 0.39 C. 0.52 D. 0.64
答案 C
解析 由题意可知频数在的有：13+24+15=52，由频率=频数总数可得0.52.
40.(2009上海卷理)在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为"连续10天，每天新增疑似病例不超过7人"。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A.甲地：总体均值为3，中位数为4 B.乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C.丙地：中位数为2，众数为3 D.丁地：总体均值为2，总体方差为3
答案 D
解析 根据信息可知，连续10天内，每天的新增疑似病例不能有超过7的数，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数;同理，在选项C中也有可能;选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果数目太大，也有可能存在大于7的数;选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不会为3，故答案选D.
二、填空题
34.(2014上海文)12.在行列矩阵中，
记位于第行第列的数为。当时， 45 。
解析：1+3+5+7+9+2+4+6+8=45
35.(2014上海文)5.将一个总数为、 、三层，其个体数之比为5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从中抽取 20 个个体。
解析：考查分层抽样应从中抽取
36.(2014浙江理)有4位同学在同一天的上、下午参加"身高与体重"、"立定跳远"、"肺活量"、"握力"、"台阶"五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测"握力"项目，下午不测"台阶"项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种(用数字作答).
解析：本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题
37.(2014江西理)将6位志愿者分成4组，其中两个各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 种(用数字作答)。
【答案】 1080
【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识，重点考查化归转化和应用知识的意识。先分组，考虑到有2个是平均分组，得，再全排列得：
38.(2014天津理)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。
【答案】24，23
【解析】本题主要考查茎叶图的应用，属于容易题。
甲加工零件个数的平均数为
乙加工零件个数的平均数为
【温馨提示】茎叶图中共同的数字是数字的十位，这事解决本题的突破口。
39.(2014全国卷1文)(15)某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种.(用数字作答)
答案 15. A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析1】:可分以下2种情况:(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有种不同的选法;(2)A类选修课选2门,B类选修课选1门,有种不同的选法.所以不同的选法共有+种.
【解析2】:
40.(2014全国卷2理)(14)若的展开式中的系数是，则 .
【答案】1
【命题意图】本试题主要考查二项展开式的通项公式和求指定项系数的方法.
【解析】展开式中的系数是.
41.(2014辽宁理)(13)的展开式中的常数项为_________.
【答案】-5
【命题立意】本题考查了二项展开式的通项，考查了二项式常数项的求解方法
【解析】的展开式的通项为，当r=3时，，当r=4时，，因此常数项为-20+15=-5
42.(2014全国卷2文)(14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_________
【答案】84
【解析】：本题考查了二项展开式定理的基础知识
∵ ，∴ ，∴
43.(2014四川理)(13)的展开式中的第四项是 .
解析：T4=
【答案】-
44.(2014四川文)(13)(x-)4的展开式中的常数项为______________(用数字作答)
解析：展开式的通项公式为Tr+1=
取r=2得常数项为C42(-2)2=24
【答案】24
45.(2014湖北文)11.在的展开中， 的系数为______。
【答案】45
【解析】展开式即是10个(1-x2)相乘，要得到x4，则取2个1-x2中的(-x2)相乘，其余选1，则系数为，故系数为45.
46.(2014湖北理)11、在(x+ )的展开式中，系数为有理数的项共有_______项。
【答案】6
【解析】二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项.
47.(2014安徽卷)
48.(2014安徽文)(14)某地有居民100 000户，其中普通家庭99 000户,高收入家庭1 000户.从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户.依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .
【答案】
【解析】该地拥有3套或3套以上住房的家庭可以估计有：
户，所以所占比例的合理估计是.
【方法总结】本题分层抽样问题，首先根据拥有3套或3套以上住房的家庭所占的比例，得出100 000户，居民中拥有3套或3套以上住房的户数，它除以100 000得到的值，为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计.
49.(2014浙江文)(11)在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是
【答案】45 46
50.(2014北京理)(11)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)。由图中数据可知a= 。若要从身高在[ 120 , 130)，[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 。
【答案】0.030 3
51.(2014福建文)14. 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。
【答案】60
【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，则
，解得，所以前三组数据的频率分别是，
故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。
【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。
52.(2014江苏卷)4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有____根在棉花纤维的长度小于20mm。
【解析】考查频率分布直方图的知识。
100×(0.001+0.001+0.004)×5=30
53.(2014上海文)从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张，则"抽出的2张
均为红桃"的概率为 (结果用最简分数表示)。
【答案】
解析：考查等可能事件概率"抽出的2张均为红桃"的概率为
54.(2014湖南文)在区间[-1,2]上随即取一个数x，则x∈[0,1]的概率为 。
【答案】
【命题意图】本题考察几何概率，属容易题。
55.(2014辽宁文)三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，
恰好排成英文单词BEE的概率为 。
【答案】
解析： 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：，
概率为：
56.(2014重庆文)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为____________ .
解析：加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得
加工出来的零件的次品率
57.(2014重庆理)(13)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________.
解析：由得
58.(2014湖北文)13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9.则服用这咱新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_______(用数字作答)。
【答案】0.9744
【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则;
若共有4人被治愈，则，故至少有3人被治愈概率
59.(2014湖南理)11.在区间上随机取一个数x，则的概率为
60.(2014湖南理)9.已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间。若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g
61.(2014安徽理)15、甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)。
①; ②; ③事件与事件相互独立;
④是两两互斥的事件; ⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
【答案】②④
【解析】易见是两两互斥的事件，而
。
【方法总结】本题是概率的综合问题，掌握基本概念，及条件概率的基本运算是解决问题的关键.本题在是两两互斥的事件，把事件B的概率进行转化，可知事件B的概率是确定的.
62.(2014湖北理)14.某射手射击所得环数的分布列如下：
7
8
9
10
P
x
0.1
0.3
y
已知的期望E=8.9，则y的值为 .
【答案】0.4
【解析】由表格可知：
联合解得.
63.(2014福建理)13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于 。
【答案】0.128
【解析】由题意知，所求概率为。
【命题意图】本题考查独立重复试验的概率，考查基础知识的同时，进一步考查同学们的分析问题、解决问题的能力。
64.(2014江苏卷)3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.
【解析】考查古典概型知识。
三、简答题
53.(2014湖南文)(本小题满分12分)
为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位：人)
求x,y ;
若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。
54.(2014陕西文) (本小题满分12分)
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：
()估计该校男生的人数;
()估计该校学生身高在170~185cm之间的概率;
()从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。
解 ()样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。
()有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率
()样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为
样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为
从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率
55.(2014辽宁文)(本小题满分12分)
为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组。每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。下表1和表2分别是注射药物A和药物B后的实验结果。(疱疹面积单位：)
(Ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
(Ⅱ)完成下面列联表，并回答能否有99.9%的把握认为"注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异"。
附：
解：
(Ⅰ)
图1注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图2注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。
(Ⅱ)表3
疱疹面积小于
疱疹面积不小于
合计
注射药物
注射药物
合计
由于，所以有99.9%的把握认为"注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异".
56.(2014辽宁理)(18)(本小题满分12分)
为了比较注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。
(Ⅰ)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率;
(Ⅱ)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
(ⅰ)完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小;
(ⅱ)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为"注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异".
表3：
解：
(Ⅰ)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
......4分
(Ⅱ)(i)
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数。 ......8分
(ii)表3：
由于K2>10.828，所以有99.9%的把握认为"注射药物A后的疱疹面积于注射药物B后的疱疹面积有差异"。 ......12分
57. (2014安徽文)(本小题满分13分)
某市2014年4月1日-4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):
61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,
77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,
(Ⅰ) 完成频率分布表;
(Ⅱ)作出频率分布直方图;
(Ⅲ)根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良;在101~150之间时，为轻微污染;在151~200之间时，为轻度污染。
请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.
【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识.
【解题指导】(1)首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。
(Ⅲ)答对下述两条中的一条即可：
该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的，有26天处于良的水平，占当月天数的，处于优或良的天数共有28天，占当月天数的。说明该市空气质量基本良好。
轻微污染有2天，占当月天数的。污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善。
【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量.频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的频率/组距，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率.对于开放性问题的回答，要选择适当的数据特征进行考察，根据数据特征分析得出实际问题的结论.
58. (2014天津文)(18)(本小题满分12分)
有编号为,,...的10个零件，测量其直径(单位：cm)，得到下面数据：
其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。
(Ⅰ)从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率;
(Ⅱ)从一等品零件中，随机抽取2个.
(ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果;
(ⅱ)求这2个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力。满分12分
【解析】(Ⅰ)解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设"从10个零件中，随机抽取一个为一等品"为事件A，则P(A)==.
(Ⅱ)(i)解：一等品零件的编号为.从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：,,,
,,,共有15种.
(ii)解："从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等"(记为事件B)的所有可能结果有：，，共有6种.
所以P(B)=.
59. (2014广东理)17.(本小题满分12分)
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490,，(495,，......(510,，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示.
(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列.
(3)从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.
60. (2014湖北文)17.(本小题满分12分)
为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)
(Ⅰ)在答题卡上的表格中填写相应的频率;
(Ⅱ)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少;
(Ⅲ)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
61. (2014湖南理)(本小题满分12分)
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图
(Ⅰ)求直方图中x的值
(II)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望。
62. (2014安徽理)21、(本小题满分13分)
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。
现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
，
则是对两次排序的偏离程度的一种描述。
(Ⅰ)写出的可能值集合;
(Ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列;
(Ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，
(i)试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立);
(ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何?说明理由。
63.(2014浙江理)(本题满分l4分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为l，2，3等奖.
(I)已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%.记随变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望;
(II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求.
解析：本题主要考察随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。
(Ⅰ)解：由题意得ξ的分布列为
ξ
50%
70%
90%
p
则Εξ=×50%+×70%+90%=.
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=.
由题意得η～(3，)
则P(η=2)=()2(1-)=.
64.(2014全国卷2理)(本小题满分12分)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.
(Ⅰ)求p;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率;
(Ⅲ)表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望.
【命题意图】本试题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及数学期望，考查分类讨论的思想方法及考生分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
【点评】概率与统计也是每年的必考题，但对考试难度有逐年加强的趋势，已经由原来解答题的前3题的位置逐渐后移到第20题的位置，对考生分析问题的能力要求有所加强，这应引起高度重视.
65.(2014全国卷2文)(本小题满分12分)
如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T，T，T，T，电源能通过T，T，T的概率都是P，电源能通过T的概率是0.9，电源能否通过各元件相互独立。已知T，T，T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。
(Ⅰ)求P;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率。
【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，
(1)设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1，T2，T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得p。
(2)将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。
66.(2014江西理)(本小题满分12分)
某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。
求的分布列;
求的数学期望。
【解析】考查数学知识的实际背景，重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。
必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6
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