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揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
3.答案第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
2.复数的实部与虚部的和为
（A） （B） （C） （D）
3.在等差数列中，已知，则此数列的公差为
（A） （B） （C） （D）
4.如果双曲线经过点，且它的一条渐近线方程为，那么该双曲线的方程式
（A） （B） （C） （D）
5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数a,则不等式成立的概率是
（A） （B） （C） （D）
6.设是两个非零向量，则“”是 “”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
7.已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为
（A）3 （B）0 （C）-3 （D）
8.函数的最大值和最小正周期分别为
（A） （B） （C） （D）
9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年的速度
折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4时，
最后输出的S的值为
（A）9.6 （B）7.68
（C）6.144 （D）4.9152
10.如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方
体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）54 （B）162
（C） （D）
11.已知直线与圆心为C的圆相交于A，B两点，且，则实数a的值为
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
12.若函数存在唯一的零点，则实数a的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必答题和选考题两部分，第13题～第21题为必答题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：（本大概题共4小题，每小题5分,共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上）
13已知实数x，y满足，则目标函数的最大值为
14.在的展开式中，的系数是
15.已知正方形的一个面在半径为的半球底面上，A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则正方体的体积为
16.设是数列的前n项和，且，则数列的通项公式
三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知a,b,c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）若，求△ABC的面积
18. （本小题满分12分）
某商场销售某种品牌的空调器，每周周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调器仅获利润200元。
（Ⅰ）若该商场周初购进20台空调器，求当周的利润（单位：元）关于当周需求量n（单位：台，）的函数解析式；
（Ⅱ）该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量n（单位：台），整理得下表：
|
周需求量n
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
频数
|
1
|
2
|
3
|
3
|
1
|
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元），求X的分布列及数学期望。
19. （本小题满分12分）
如图3，在三棱柱中，底面△ABC是边长为2的
等边三角形，D为AB的中点。
（Ⅰ）求证：//平面
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值。
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，且短轴的长为2，离心率等于。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若，求证：为定值。
21.（本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分。
22．(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图4，四边形ABCD内接于，过点A作的切线EP
交CB的延长线于P，已知。
（Ⅰ）若BC是的直径，求的大小；
（Ⅱ）若,求证：
23. （本题满分10分） 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是
（Ⅰ）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求的值。
24. （本题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
已知函数。
（I）解不等式：
（II）若，求证：
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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．
一、选择题：D D A B A C C B C D C D
解析：7.由函数的图象关于直线对称得，
则.
8.，
故．
9.依题意知，设汽车年后的价值为,则，结合程序
框图易得当时，．
10.依题意知该几何体如右图示：故其表面积为.
11.圆即，所以，
，由得,所以圆心C到直线的距离，故或.
12.函数存在唯一的零点，即方程有唯一的实根直线与函数的图象有唯一的交点，由，可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值，，故当时，直线与函数的图象有唯一的交点.
或因由得或，若显然存在唯一的零点，若，在和上单调递减，在上单调递增，且故存在唯一的零点，若，要使存在唯一的零点，则有解得，综上得.
二、填空题：13. 9；14. 20；15.；16.．
解析：15．设正方体的棱长为，把半球补成全球，则问题为长、宽、高分别为、、的长方体内接于球，，解得，所以正方体的体积为．
16.由，
.
三、解答题：
17．解：（I）∵、为的内角，
由知，结合正弦定理可得：
------------------------------------------------------------3分
,-----------------------------------------------------------------4分
∵ ∴.--------------------------------------------------------5分
（II）解法1：∵，，
由余弦定理得：，----------------------------------------7分
整理得：
解得：（其中负值不合舍去）--------------------------------9分
∴，由得
的面积．-------------------------12分
【解法2：由结合正弦定理得：，--------------------------6分
∵， ∴, ∴,------------------------------7分
∴
=,--------------------------9分
由正弦定理得：，---------------------------------------------10分
∴的面积．-----------12分】
18.解：（I）当时，--------------2分
当时，--------------------------4分
所以----------------------------------------5分
（II）由（1）得---------------------------------------6分
-------------------------------------7分
-----------------------9分
的分布列为
------12分
19.（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，
则E为AC1中点，-------------------------------2分
∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分
∵BC1平面A1CD，DE平面A1CD，-------------5分
∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分
【证法2：取中点，连结和，------1分
∵平行且等于 ∴四边形为平行四边形
∴ -----------------------------------------------------------------2分
∵平面，平面
∴平面,------------------------------3分
同理可得平面------------------------4分
∵ ∴平面平面
又∵平面
∴BC1∥平面A1CD. ------------------------------6分】
(II) -------------------------------------7分
又 ，
又 面-------------------------------------------8分
法一：设BC的中点为O，的中点为，以O为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.------------------9分
则，.
∴--------------------10分
平面的一个法向量
所以直线A1D与平面CBB1C1所成角的正弦值为-------------------------------12分
【法二：取的中点，连结，则-------------------------------7分
∵面，故,
,面------9分
延长、相交于点，连结，
则为直线与平面所成的角. ------------------------------------10分
因为为的中点，故，又
即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】
【法三：取的中点，连结，则-------------------------------7分
∵面，故,
,平面------------------------------------------9分
取中点M，连结BM，过点M作，则平面，
连结BN，∵,
∴为直线与平面所成的角，---10分
∵,
即直线与平面所成的角的正弦值为.------------------------------12分】
20.解：（I）设椭圆C的方程为，
则由题意知-------------------------------------------------------2分
解得，--------------------------------------------------------------------4分
∴椭圆C的方程为 ---------------------------------------------------5分
（II）证法1：设A、B、M点的坐标分别为，
易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
显然直线l的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线l的方程是，-----------7分
将直线的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得
------------------------------------------------9分
-------------------------------------------10分
又
-------12分
【证法二：设点A、B、M的坐标分别为
易知F点的坐标为（2，0）. ------------------------------------------------------6分
∴------------7分
将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得
--------------------------------------------------------9分
同理，由可得---------------------------------10分
即 是方程 的两个根，-------------------12分】
21．解：（I）∵且直线的斜率为0，又过点，
∴-------------------------------------------------------------------2分
即解得-----------------------------------------------------3分
（II）当时，不等式
----------------5分
令，----------------7分
令，
①当即时，在单调递增且，所以当时，，在单调递增，即恒成立．------------9分
②当即时，在上上单调递减，且，故当时，即
所以函数在单调递减，----------------------------------------------10分
当时，与题设矛盾,
综上可得的取值范围为------------------------------------------------12分
22.解：（I）EP与⊙O相切于点A，，-----------------------1分
又BC是⊙O的直径， ----------------------------------------------3分
四边形ABCD内接一于⊙O，
-------------------------------------------------------------------5分
（II）
--------------------------------------------------------------7分
------------------------------------------------------------------8分
又 --------------------------------------------------10分
23.解：（I）直线的普通方程为，------------------------------------2分
曲线C的直角坐标系方程为-------------------------------------------4分
（II）⊙C的圆心（0，0）到直线的距离
------------------------------------------------------------6分
∴ --------------------------------------------------------8分
∵
故．-----------------------------------------------10分
24.解：（I）由题意，得，
因此只须解不等式 ---------------------------------------------1分
当x≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即；------------------------------------2分
当时，原不式等价于1≤2，即；-----------------------------------3分
当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即.-------------------------------------4分
综上,原不等式的解集为. -----------------------------------------5 分
（II）由题意得------------------------------------6分
=---------------------------------------------8分
--------------------------------------------------------------9分
所以成立．------------------------------------------------10分
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